1.判處死刑立即執行的案件應當由最高人民法院核準，有些案件的核準權依法經最高人民法院授權也可以由省、自治區、直轄市高級人民法院行使。

由最高人民法院核準死刑的案件：

(1)中級人民法院判處死刑的第一審案件，被告人不上訴，人民檢察院也不抗訴的。對這種情況中級人民法院應當在上訴、抗訴期滿后3日以內報請高級人民法院進行復核。高級人民法院同意判處死刑的，應當作出同意判處死刑的裁定，然后再報請最高人民法院核準;高級人民法院不同意判處死刑的，應當直接進行提審或者發回原審人民法院重新審判。高級人民法院提審后改判的案件是最終的判決，不能上訴或者抗訴;提審后仍然判處死刑的，必須報請最高人民法院核準。高級人民法院發回原審人民法院重新審判的，原審人民法院應當按照一審程序審理，所作出的判決仍然為一審判決，可以上訴或者抗訴，如果原審人民法院重新審判后仍然判處死刑，還必須報請最高人民法院核準。

(2)中級人民法院判處死刑的第一審案件，被告人提出上訴，或者人民檢察院提出抗訴的，中級人民法院應當將案件移交高級人民法院進行審理，高級人民法院如果同意判處死刑的，必須報請最高人民法院核準。

(3)高級人民法院判處死刑的第一審案件，被告人不上訴，人民檢察院也不抗訴的，高級人民法院應當在上訴、抗訴期滿后3日以內報請最高人民法院核準。

(4)高級人民法院判處死刑的第一審案件，被告人提出上訴，或者人民檢察院提出抗訴的，高級人民法院應當將案件移交最高人民法院進行審理。

由最高人民法院授權高級人民法院核準死刑的案件：

對殺人、強奸、搶劫、爆炸以及其他嚴重危害公共安全和社會治安犯罪判處死刑的案件，最高人民法院可以依法授權由省、自治區、直轄市高級人民法院行使核準權。需要報請高級人民法院核準死刑的案件，按照下列情形分別處理：

(1)中級人民法院判處死刑的第一審案件，被告人不上訴，人民檢察院也不抗訴的，中級人民法院應當在上訴、抗訴期滿后3日以內報請高級人民法院核準。

(2)中級人民法院判處死刑的第一審案件，被告人提出上訴或者人民檢察院提起抗訴的，中級人民法院應當將案件移交高級人民法院進行審理，高級人民法院如果同意判處死刑的，應當作出維持死刑判決的裁定，同時也是核準死刑判決的裁定。

對于報請最高人民法院或者高級人民法院核準死刑的案件，最高人民法院或者高級人民法院應當對案件全面進行審查，并根據案件情形分別作出如下判決、裁定：

(1)原審判決認定事實和適用法律正確、量刑適當的，裁定核準死刑，并由最高人民法院院長或者高級人民法院院長簽發執行死刑命令，同時由原審人民法院發布執行死刑的布告;

(2)原審判決認定的事實正確，但適用法律有錯誤，或者量刑不當，不同意判處死刑的，應當改判;

(3)原審判決認定事實錯誤或者證據不足的，裁定撤銷原判，發回原審人民法院重新審判;

(4)發現第一審人民法院或者第二審人民法院違反法律規定的訴訟程序，可能影響正確判決的，應當裁定撤銷原判，發回第一審人民法院或者第二審人民法院重新審判。

2.判處死刑緩期二年執行的案件由高級人民法院核準。

中級人民法院對于報請高級人民法院核準死刑緩期二年執行的案件，應當報送的材料包括報請核準的報告、死刑緩期二年執行案件綜合報告、判決書以及全部訴訟案卷和證據，如果是共同犯罪的案件，對其中一名或幾名被告人判處死刑緩期二年執行的，也應當將全部案件的證據材料報送高級人民法院。中級人民法院報送死刑緩期二年執行的核準案件必須做到犯罪事實清楚，證據確實、充分，適用法律正確，訴訟文書齊備，并且一案一報。高級人民法院收到報請核準死刑緩期二年執行的案件，需要全面對案件進行審查，經審查應當作出核準或者不核準的決定，不能加重被告人的刑罰，并按照下列情形分別處理：

(1)同意判處死刑緩期二年執行的，應當作出裁定予以核準;

(2)認為原判事實不清、證據不足的，應當裁定發回原審人民法院重新審判;

(3)認為原判量刑過重的，應當進行改判。